업계 동향 이상한 확률퍼즐 2010/10/15 22:15 by 세리자와

이제는 많이 알려졌다고 생각했는데 누가 또 물어보길래 올려봅니다.

조건부 확률문제인데 다음과 같습니다.


김씨네는 자식이 둘인데 하나가 아들이다. 이 때 자식이 둘 다 아들일 확률은?



정답은...

1/3입니다. 의외로 다른 한쪽이 아들일 확률만 생각해서 1/2라고 대답하는 사람이 많더라고요.

이유는 간단합니다. 경우의 수를 세어보면

아들 아들 * !
아들 딸 *
딸 아들 *
딸 딸

한쪽이 아들인 경우(*)가 셋이고 둘 다 아들인 경우(!)가 하나이므로 1/3이 됩니다.

실수를 범하게 되기 쉬운 이유는 둘 다 아들인 경우를 두번 세기 때문입니다. 아들이라고 알려진 쪽이 첫째면 다른 한쪽은 경우의 수가 아들 혹은 딸 두가지가 나올 수 있습니다. 반대로 아들인 것을 아는 쪽이 둘째이면 역시 다른 한쪽은 아들 혹은 딸 두가지가 나오는데, 이 때 둘 다 아들인 경우가 한번 더 세어지게 됩니다. 따라서 이 경우를 빼주어야 합니다.

즉, ( {첫째/둘째} -1 )/( {첫째/둘째}*{아들/딸}-1 ) = (2-1)/(2*2-1) = 1/3 이 됩니다. ( {X}는 X의 경우의 수를 나타냅니다.)



그럼 여기서 조금 비틀은 문제가 나갑니다.

김씨네는 자식이 둘인데 하나가 아들이고 화요일에 태어났다. 이 때 자식이 둘 다 아들일 확률은?



정답은...


역시 마찬가지로 둘다 아들이고 둘다 화요일에 태어난 경우를 빼주어야 합니다. 따라서 답은

( {첫째/둘째}*{요일}-1 )/( {첫째/둘째}*{아들/딸}*{요일}-1 ) = (2*7-1)/(2*2*7-1) = 13/27

이 됩니다.


재밌는 것은 이렇게 헷갈리는 조건부 확률도 실제로 경우의 수를 세어보게 하면 사람들이 잘 틀리지 않는다는 점입니다. 예를 들어 조건부확률의 대표적인 문제 중에 다음과 같은 것이 있습니다.


인구 중 0.1%만이 걸리는 희귀병이 있다. 이 병에 걸렸는지 확인하는 검사가 있는데 문제는 이 검사는 병이 안 걸린 사람도 5%의 확률로 걸렸다고 나올 수 있다는 것이다. 한 환자가 검사를 해서 양성결과가 나왔다. 이 환자가 실제로 병에 걸렸을 확률은?



제가 어렴풋이 기억하기로는 미국 의사들 중 절반 이하만이 정답을 냈다고 합니다. 그런데 이 문제를 정확히 내용은 동일한, 그러나 조건부 확률이 아닌 경우의 수 세기로 바꾸면 다음과 같이 됩니다.


어떤 희귀병이 있는데 천명 중 한명 꼴로 발병한다. 이 병에 걸렸는지 확인하는 검사가 있는데, 이 검사는 병에 안 걸린 사람도 천명 중 50명 정도는 병에 걸렸다고 진단한다. 여기 양성결과를 얻은 50명이 있다. 이 중에 몇 퍼센트가 실제로 병에 걸렸을까?



이렇게 하면 틀리는 사람이 거의 없지요. 왜 같은 문제인데 한 쪽은 어렵고 한 쪽은 쉬울까요?




덧글

  • ArchDuke 2010/10/16 00:31 # 답글

    하지만 아들 딸과 딸 아들을 같다고 가정한다면...다르지 않나요?
  • 세리자와 2010/10/16 01:36 #

    그럼 아들 아들 확률이 전체에서 1/3이 되겠죠. 그건 좀 이상하죠?
  • ArchDuke 2010/10/16 02:52 #

    음.....
  • asianote 2010/10/16 15:20 # 답글

    조건부 확률에서는 순서도 중요한 요소였군요!
  • ... 2010/10/16 18:35 # 삭제 답글

    그런데 첫번째 문제에서, 문제자체만 보면 자식 두명 중에서 한명이 아들이라는 정보를 가르쳐줬고, 첫째의 성별과 둘째의 성별은 독립적인 문제니까,
    한명이 아들인걸 이미 알고 있다면, 둘째가 아들인지 딸인지만 생각하면 되는거 아닌가요?
    밑에 설명을 보면 문제의 의도가 짐작이 가긴 하는데, 문제만 보고서는 이렇게 생각을 했었거든요.
  • antracene 2010/10/16 19:57 # 삭제 답글

    두번째 문제에서 왜 다른 아들이 화요일에 태어날 가능성을 빼어야 하는지 이해가 안갑니다만..
    쌍둥이일 수도 있고, 우연히 다른 아들이 화요일에 태어날 수도 있지 않을까요?
  • 까만달 2010/10/19 06:21 # 삭제 답글

    아. 이해가 안되서 계속 생각하고 있는 중입니다.

    수치를 따르자면. 그러면 다른 한 자식이 딸이 될 확률이 2/3이라는 말인데..
    한명이 아들이 됨으로서 다른 한명이 딸이 될 확률이 올라간다는건 좀 이상하지 않나요..?
  • 세리자와 2010/10/20 03:26 #

    적어도 한명이 아들일 경우만 보면요... 딸딸일 확률을 빼주면 되니까 1-(1/2)^2 = 1-1/4 = 3/4가 됩니다. 여기서 아들아들 확률을 빼주면 1/2니까 표에서처럼 아들아들이나 딸딸보다는 아들 하나 딸하나 확률이 두배가 됩니다.

    부부 한쌍만 보면 첫째가 아들이던 딸이던 둘째의 성별의 확률과는 관계가 없을 겁니다. 하지만 애 둘있는 집만 전부 모아서 아들하나 딸하나 집만 찾으면 절반이 되지요. 아들딸하고 딸아들이 각각 1/4확률로 존재하니까...
  • 까만달 2010/10/21 03:05 # 삭제

    아. 제가 내렸던 전제 자체가 잘못되었군요. 문제를 본 관점이 잘못되었다고 해야하나.
    왜 정해진 하나가 다른 하나의 결정 확률에 영향을 미치지. 라고 계속 생각했거든요.
    그게 아니라 정해진 하나가 전체 확률에서 변수를 제거해주는 역할이었군요.
    그로 인해 남은 변수들의 확률이 올라가는 것이고..
    즉 아들+아들 확률이 1/4 에서 다른 변수의 감소로 1/3 로 올라갔다고 봐야 하는거군요.

    이제 뭐가 머릿속에 오류였었는지 정리가 되니까. 깔끔해지네요.
    솔직히. 수식보다는. 개념자체가 이해가 안되서 고생했었거든요;
    가만보면 원래 써두신 글에 다 있는 말인데. 왜 이렇게 추가로 들어야 이해가 되는지..ㅠ,.ㅠ;

    설명 감사합니다
  • SilverRuin 2010/10/22 10:23 # 답글

    두 번째 문제가 이해가 안 갑니다...
    자식의 성별과 태어난 요일은 independant하고 보아서 두 번째 문제와 첫 번째 문제는 동치 아닌가요?
  • 투더리 2010/11/16 14:31 # 삭제 답글

    저도 두번째 문제가... 월화수목금토일 중에 어느 하루엔가는 무조건 태어나게 돼 있잖습니까? 그러면... 하나가 아들이고 그가 월화수목금토일 중 어느 날에 태어나더라도, 나머지가 아들일 확률이 13/27 (이면 거의 1/2) 이라는 건데, 요일 언급을 안 하면 1/3 이라구요? 그건 좀...?!?!
  • 야채 2011/02/05 17:41 # 삭제 답글

    상당히 뒷북입니다만...
    두 번째 문제를 이상하게 생각하는 분들이 많은데, 이유는 대충 이렇습니다. 만약 첫째와 둘째 중 한 명을 특정해서 아들이라고 한다면, 예컨대 "첫째가 아들이다" 라고 한다면 둘 다 아들일 확률은 1/2 입니다. 그런데

    "하나는 아들이고 화요일에 태어났다"

    이 말은 다른 말로 고치면 이렇게 됩니다.

    "화요일에 태어난 아이는 아들이다."

    첫째 둘째 모두 화요일에 태어났다면 확률은 마찬가지로 1/3 이겠지만, 두 명중 한 명만 화요일에 태어났다면 첫째 둘째 중에서 한 명을 특정하는 것이 되므로 확률은 1/2로 뛰어오릅니다. 그리고 둘 다 화요일에 태어났을 확률보다 둘 중 하나만 화요일에 태어났을 확률 쪽이 더 높기 때문에 확률은 1/2 에 가까워집니다.
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